Функции как математический портрет окружающего нас мира

Представьте себе обычных школьников и студентов, которые увлеченно со ставляют творческие задания по теме  «Функции и графики» для таких же школьников. И чтобы составить эти за дания, просят свою учительницу объяснить им побыстрее новые темы, да по сложнее, не боятся заглянуть в учебники на год, а то и на два вперед по школьной программе. Да даже и в главы высшей математики! Звучит как мечта, красивая и яркая, словно Полярная звезда, и такая же далекая. Но это реальность. Есть такие ребята в Уфе! Занимаются они в кружке «Творческая математика». И, к большой моей радости, я являюсь руководителем этого кружка. А как ребята стали автора ми математических заданий в картинках, я расскажу вам в этой статье.

Я родилась в Уфе, но волею судьбы много лет жила и работала на Донбассе. Закончила математический факультет Донецкого национального университета и стала преподавать «царицу наук» в Макеевском строительном техникуме. Вскоре я заметила, что тема «Функции и графики» не пользуется популярностью среди студентов. Чтобы заинтересовать ребят, я решилась на эксперимент – заменила обычные домашние задания по этой теме на творческие и объявила конкурс на лучшие работы. Студенты должны были нарисовать рисунок на любую тему, поместить его в систему координат, и как минимум 5 линий этого рисунка изобразить из графиков функций, составить уравнения к ним. На выставки необычных математических картин стали приезжать гости из других колледжей, других городов. Об этом эксперименте я написала статью в далеком 2008 году под названием «Сухие цифры или блондинка в красном». Название было навеяно нашумевшим тогда кинофильмом «Матрица». Герой фильма в потоке цифр на экране видел привлекательных девушек. А мы со студентами в сложных уравнениях постепенно научились видеть красоту и закономерности окружающего нас мира.

В 2014 году пришлось срочно покинуть Донбасс,начались боевые действия. Я вернулась на родину, в Уфу. И заметила, что здесь тема «Функции и графики»  тоже часто остается непонятой детьми, а значит, нелюбимой, неинтересной. В основном школьники строят графики, каждый раз составляя таблицы значений по заданной формуле, и от этих «табличных мучений» не приходят к пониманию.

Задания по данной теме присутствуют в I и II частях ОГЭ и ЕГЭ. Графический метод позволяетрешать сложные задания с параметрами. При обучении в вузе умение составлять уравнения кривых, проходящих через точки, полученные экспериментальным путем, имеет уже исследовательский, научный характер. Чтобы увлечь школьников изучением различных  функций, я загорелась идеей создать настенный календарь для кабинетов математики. В качестве иллюстраций к нему нарисовать картины из графиков и к каждой линии рисунка составить уравнения. Чтобы учителя и ученики,любуясь красочным календарем, подругом взглянули настрогие вереницы формул в учебнике. В синусоидах увидели волны морские, среди которых резвятся дельфины, выпрыгивая из воды по параболическим траекториям...

Вначале только две мои ученицы согласились попробовать. Первый рисунок был выполнен Вероникой Насыровой, ученицей X класса СОШ им. Алымова с. Михайловка Уфимского района. Создание композиции было приурочено к встрече 2020 года, поэтому на первой нашей картине появилась математическая елка и веселый снеговичок.

Вторая отважившаяся на эксперимент – Эльмира Абдрахманова, ученица IX класса лицея №5 г. Уфы, она также училась в художественной школе. Ее очень увлекла идея совместить алгебру и живопись. Так появилась вторая математическая картина, выполненная гуашью на ватмане.

А дальше случилось чудо. Среди увидевших первые рисунки появились желающие создавать картины на математическом языке. Так в 2021 году образовался кружок «Творческая математика»,  который объединил учащихся из разных школ Уфы с VI по XI класс. За два года мы создали иллюстрации к календарю.

На обложке календаря изображен корабль знаний (рис. 1). На его парусах – все графики, изучаемые в школе с VII по XI класс. Такой корабль можно нарисовать на стенде в кабинете математики для наглядной и творческой демонстрации функций школьного курса. Идея рисунка и художественное исполнение принадлежат капитану этого проекта, то есть мне. Все рисунки, кроме первых двух, ребята выполнили вручную на миллиметровой бумаге формата А3. Самый простой рисунок содержит42 формулы, самый сложный – 174! Для каждой иллюстрации в календаре представлена математическая палитра – набор графиков, из которых построены контуры рисунка. Кто-то ограничился прямыми и параболами, в некоторых картинах использованы все функции, изучаемые в школьном курсе.Рекорд проекта по количеству составленных формул и разнообразию использованных функций принадлежит Карине Басыровой. Карина использовала в работе 9 различных функций: линейную, степенные, показательную, логарифмическую, тригонометрические. Она смогла передать изящество линий осеннего букета с помощью геометрических преобразований графиков этих функций: симметричных отображений, сдвигов, деформаций (рис. 2). «Для осеннего букета я составила 174 формулы. Их получилось так много, потому что хотелось изобразить каждую деталь рисунка, чтобы он казался более живописным. Составление формул в большом количестве увлекает, порой сложно остановиться, хочется прорисовывать все больше и больше», – рассказала о своей работе Карина.

Одноклассница Карины, Анна Мулюкова, смогла передать красоту симметрии в природе с математической точностью. Изображение двух лебедей и их отражения в воде она создала из графиков, в уравнениях которых содержатся модули аргумента и функции (рис. 3). Преобразования с помощью модулей относятся к сложным темам II части ОГЭ и ЕГЭ. Но желание создать красивый рисунок оказалось мощным стимулом. Девочки успешно сдали ЕГЭ.  Сейчас Аня и Карина – студентки Уфимского государственного нефтяного технического университета, продолжают заниматься в кружке «Творческая математика».

Мечту о дельфинах, резвящихся в клеточках школьной тетрадки, воплотила в жизнь моя дочка, Терещук Виктория, закончившая на тот момент VII класс лицея №5. Сейчас она учится в IX классе, и тема преобразования графиков – ее конек, или точнее, ее дельфин! Еще одним удивительным фактом является участие в проекте ученицы VI класса школы №41 Айлины Давлетбаковой. Знакомство с понятием функции начинается в школе в VII классе. Однако Айлина настолько загорелась идеей нарисовать математическую картину, что познакомилась на занятиях кружка с функциями и правилами преобразования графиков на уровне IX класса. Результатом такого усердия явилась замечательная иллюстрация к календарю. По количеству составленных формул ее работа не уступает работам старшеклассниц, ведь уравнений получилось 156! «Меня вдохновила сама идея: создать картину из множества формул. Хотелось сделать рисунок более красочным, ярким. Поэтому я стала изучать новые темы, опережающие школьную программу. Самое интересное было постепенно создавать иллюстрацию к календарю.

Видеть, как картина оживает благодаря графикам и формулам», – пояснила Айлина тот удивительный факт, что она за пару месяцев заглянула на три класса вперед по школьной программе.

Месяцев в календаре 12, соответственно, иллюстраций и их авторов столько же. Каждый рисунок – это история пробуждения в душе ребенка сначала робкого интереса, а потом и желания глубокого понимания математики. Работа над картинами из графиков помогла ребятам увидеть связь между строгими, сложными математическими формулами и реальностью. Формулы перестали быть набором символов, они ожили! На моих глазах каждый ребенок осознал, что все, что нас окружает, можно записать математическими уравнениями. Математик, физик и философ А.Д. Александров сказал: «Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли». Участники проекта «Календарь» раскрыли внутреннюю красоту «сухих формул» в ярких творческих работах. С тремление к созданию прекрасного помогло обычным школьникам, не ученикам математических лицеев, не победителям олимпиад достичь больших успехов в освоении сложного материала! Английский математик Годфри Гарольд Харди считал:«Математик также,как художник или поэт, создаёт узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей. <…> Узоры математика так же, как узоры художника или поэта,должны быть прекрасны;идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики».

С декабря 2022 по март 2023 мы посетили 5 школ: лицей №5, школу №41, школу №37, Уфимскую общеобразовательную школу-интернат с первоначальной лётной подготовкой им. М.Г. Гареева и СОШ им. А.М. Алымова в с. Михайловка Уфимского района. Каждый кружковец почувствовал себя вроли Деда Мороза или Снегурочки, подарив календарь родной школе. Во всех классах, с VII по X, ребята провели познавательные уроки, рассказали истории о зарождении понятия функции, начиная с глиняных табличек древнего Вавилона. Поговорили о применении функций и графиков в разных областях науки. Участник проекта кадет Арслан Ишмухаметовподготовил рассказ о параболе безопасности и важности математики в военном деле. Свой рисунок, танк из отрезков прямых, Арслан нарисовал после окончания VII класса, на летних каникулах. В начале работы над проектом ему трудно давалось решение систем уравнений. Составивдля рисунка танка 140 формул, Арслан мог уравнение любой прямой получить за пару минут. Если бы существовал спортивный норматив по составлению уравнения линейной функции на скорость, победителем наверняка стал бы Арслан!

Зимой 2023 года с проектом «Математический календарь. Картины из графиков» мы стали лауреатами I степени во Всероссийском конкурсе образовательных проектов «Созидание и творчество». Этот конкурс проводит ежегодно МАН «Интеллект будущего» в г. Обнинске. Однако, презентуя проект в школах, кроме интереса, мы увидели и другую реакцию. Рисунки, со слишком сложными формулами, насыщенные множеством деталей, породили неуверенность у значительной части школьников, предположивших,что создать такое и мне под силу. Учителя поблагодарили за календарь и спросили, есть ли у нас простые обучающие задания.

Так возникла идея второго образовательного проекта – создать сборник задач для учащихся VII-XI классов с рисунками из графиков, начиная от самых простых, состоящих из нескольких прямых, до самых сложных, с разными функциями и всеми типами геометрических преобразований. Ведь гораздо интереснее построить те же параболы и гиперболы и получить в результате красивый рисунок! Разгадать математическую загадку, узнать, какое изображение скрывается за уравнениями. Подобные задания есть в программе VI класса, дети с удовольствием соединяют точки с заданными координатами и получают красивую картинку. Но из графиков функций таких «головоломок» в учебниках нет. Проект получил название «Сборник творческих задач по графикам функций. От школьников школьникам».

«Первой ласточкой» тестирования необычных заданий в школе стала ученица X класса лицея №5 Элина Ишмухаметова. Она выбрала тему школьного проекта: «Творческий сборник задач. Построение графиков функций, содержащих модули». Я стала руководителем этого проекта. Элина придумала несколько рисунков, симметричных относительно координатных осей, разработала бланки заданий для одноклассников. На уроке математики учащиеся физико-математического X класса лицея №5 попробовали свои силы в построении графиков с модулями и составлении уравнений к контурам рисунка. Весной 2023 года состоялась предзащита проекта. Рисунки Элины, успешно протестированные в школе, станут частью нашего общего сборника задач, который, надеемся, послужит многим поколениям учеников.

За лето 2023 года на занятиях кружка мы с ребятами создали 60 рисунков из графиков.Работаем над составлением заданий разных типов по готовым чертежам. Графики ребята строят уже не вручную на миллиметровой бумаге. Все построения выполняют на компьютере в программе Advanced Grapher. «Самое сложное – придумать, что ты будешь делать. Нужно подобрать картинку, чтобы она была красивой и удобной для того, чтобы изобразить еевпрограмме. Самое интересное – строить сам рисунок из графиков на компьютере», – считает Карим Ишмаев, ученик VIII класса СОШ им.  А.М. Алымова с. Михайловка.Каримзанимаетсявкружке первый год,но так увлекся,что создал уже 16 рисунков из графиков. «На экране ты видишь,что произошло – растяжение или сжатие, сдвиг вправо или влево. Можно сразу понять,что ты где-то допустил ошибку, если график в программе не совпал с твоими ожиданиями. Изучение темы «Функции и графики» на компьютере может повысить интерес и успеваемость по этой теме в школе», – выразила общее мнение Карина Басырова. Первые рисунки, выполненные в данной программе, мы напечатали на футболках (фото1). Теперь  у каждого кружковца есть футболка со своим уникальным рисунком из графиков. В математических футболках, как популяризаторы математики, мы начали проводить тестирование в школах. В декабре 2023 года в гимназии №91  г. Уфы состоялся творческий урок по заданиям из готовящегося на конкурс сборника задач. Рисунки из графиков для своих одноклассников составил уче ник VIII класса Таир Ардуванов. Ребятам было интересно разгадать, какое изображение «зашифровал» для них в виде множества  формул Таир, они активно отвечали на вопросы, делились идеями друг с другом.

В нашем кружке есть и иногородние ребята. Виктор Федоров, ученик X класса гимназии №4 г. Волгограда, воктябре 2023 года провел для одноклассников творческий урок по построению рисунка из графиков. Мы передали наш календарь в подарок школе, где учится Виктор. Также один календарь летом отправился в путешествие на Донбасс, в г. Макеевку, где я работала много лет. Ребята в Макеевке последние два года из-за обстрелов учились дистанционно. Осенью2023 года наконец вышли на занятия. Надеемся, наш календарь вдохновит макеевских школьников. Радует, что зернышки творческой математики прорастают уже и в других городах России!

Я рассказала ребятам, что пишу статью о деятельности кружка. Спросила, что бы они пожелали школьникам, которые будут выполнять наши необычные задания. Ответом одной из моих учениц, Ани Мулюковой, я и хочу закончить статью: «Не ленитесь, развивайтесь, ищите интересные для вас способы решения. И тогда вы сможете справиться с любыми сложными задачами. Создавая наши рисунки, мы вкладываем свою душу, чтобы вы полюбили тему «Функции и графики» так же, как мы».